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已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1。(I)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)设a≤-2,证明:对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|。

题目详情
已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax 2 +1。
 (I)讨论函数f(x)的单调性;
 (Ⅱ)设a≤-2,证明:对任意x 1 ,x 2 ∈(0,+∞),|f(x 1 )-f(x 2 )|≥4|x 1 -x 2 |。
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)f(x)的定义域为

当a≥0时, ,故f(x)在 单调增加
当a≤-1时, ,故f(x)在 单调减少
当-1<a<0时,令 ,解得
则当 时,
时,
故f(x)在 单调增加,在 单调减少;
(Ⅱ)不妨假设x 1 >x 2
由于a≤-2,故f(x)在(0,+∞)单调减少
所以|f(x 1 )-f(x 2 )|≥4|x 1 -x 2 |等价于 f(x 2 )-f(x 1 )≥4x 1 -4x 2
即f(x 2 )+4x 2 ≥f(x 1 )+4x 1
令g(x)=f(x)+4x,则

于是
从而g(x)在(0,+∞)单调减少,故g(x 1 )≤g(x 2
即f(x 1 )+4x 1 ≤f(x 2 )+4x 2
故对任意x 1 ,x 2 ∈(0,+∞),|f(x 1 )-f(x 2 )|≥4|x 1 -x 2 |。