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已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1。（I）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a≤-2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|。
题目详情
| 已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax 2 +1。 （I）讨论函数f（x）的单调性； （Ⅱ）设a≤-2，证明：对任意x 1 ，x 2 ∈（0，+∞），|f（x 1 ）-f（x 2 ）|≥4|x 1 -x 2 |。 |
▼优质解答
答案和解析
（Ⅰ）f（x）的定义域为   当a≥0时，  ，故f（x）在 单调增加当a≤-1时，  ，故f（x）在 单调减少当-1<a<0时，令  ，解得 则当  时，  时， 故f（x）在  单调增加，在 单调减少；（Ⅱ）不妨假设x 1 >x 2 由于a≤-2，故f（x）在（0，+∞）单调减少 所以|f（x 1 ）-f（x 2 ）|≥4|x 1 -x 2 |等价于 f（x 2 ）-f（x 1 ）≥4x 1 -4x 2 即f（x 2 ）+4x 2 ≥f（x 1 ）+4x 1 令g（x）=f（x）+4x，则  于是  从而g（x）在（0，+∞）单调减少，故g（x 1 ）≤g（x 2 ） 即f（x 1 ）+4x 1 ≤f（x 2 ）+4x 2 故对任意x 1 ，x 2 ∈（0，+∞），|f（x 1 ）-f（x 2 ）|≥4|x 1 -x 2 |。 |
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