早教吧 育儿知识 作业答案 考试题库 百科 知识分享

已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+lnx,a∈R,(I)讨论函数f(x)的单调性;(II)设a<-1,证明:对任意x1,x2∈(2,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥2|x1-x2|.

题目详情
已知函数 f(x)=ax2-(2a+1)x+lnx,a∈R,
(I)讨论函数f(x)的单调性;
(II)设a<-1,证明:对任意x1,x2∈(2,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥2|x1-x2|.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞).
f′(x)=2ax-(2a+1)+
1
x
=
2ax2-(2a+1)x+1
x
=
(2ax-1)(x-1)
x

①若a=0,则f′(x)=
-(x-1)
x
,当0<x<1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x>1时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
②若0<a<
1
2
,令f′(x)>0,得0<x<1或x>
1
2a
,令f′(x)<0,得1<x<
1
2a

所以f(x)在(0,1),(
1
2a
,+∞)上递增,在(1,
1
2a
)上递减;
③若a=
1
2
,f′(x)=
(x-1)2
x
≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
令f′(x)>0,得0<x<
1
2a
,或x>1,令f′(x)<0,得
1
2a
<x<1,
所以f(x)在(0,
1
2a
),(1,+∞)上单调递增,在(
1
2a
,1)上单调递减;
⑤若a<0,令f′(x)>0,得0<x<1,令f′(x)<0,得x>1,
所以f(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减;
综上,a=0时,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上递减;0<a<
1
2
时,f(x)在(0,1),(
1
2a
,+∞)上递增,在(1,
1
2a
)上递减;
a=
1
2
时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;a>
1
2
时,f(x)在(0,
1
2a
),(1,+∞)上单调递增,在(
1
2a
,1)上单调递减;
a<0时,f(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减;
(Ⅱ)|f(x1)-f(x2)|≥2|x1-x2|,即|
f(x1)-f(x2)
x1-x2
|≥2,所以有|f′(x)|≥2