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已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+lnx,a∈R,(I)讨论函数f(x)的单调性;(II)设a<-1,证明:对任意x1,x2∈(2,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥2|x1-x2|.
题目详情
已知函数 f(x)=ax2-(2a+1)x+lnx,a∈R,
(I)讨论函数f(x)的单调性;
(II)设a<-1,证明:对任意x1,x2∈(2,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥2|x1-x2|.
(I)讨论函数f(x)的单调性;
(II)设a<-1,证明:对任意x1,x2∈(2,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥2|x1-x2|.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞).
f′(x)=2ax-(2a+1)+
=
=
,
①若a=0,则f′(x)=
,当0<x<1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x>1时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
②若0<a<
,令f′(x)>0,得0<x<1或x>
,令f′(x)<0,得1<x<
,
所以f(x)在(0,1),(
,+∞)上递增,在(1,
)上递减;
③若a=
,f′(x)=
≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
令f′(x)>0,得0<x<
,或x>1,令f′(x)<0,得
<x<1,
所以f(x)在(0,
),(1,+∞)上单调递增,在(
,1)上单调递减;
⑤若a<0,令f′(x)>0,得0<x<1,令f′(x)<0,得x>1,
所以f(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减;
综上,a=0时,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上递减;0<a<
时,f(x)在(0,1),(
,+∞)上递增,在(1,
)上递减;
a=
时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;a>
时,f(x)在(0,
),(1,+∞)上单调递增,在(
,1)上单调递减;
a<0时,f(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减;
(Ⅱ)|f(x1)-f(x2)|≥2|x1-x2|,即|
|≥2,所以有|f′(x)|≥2
f′(x)=2ax-(2a+1)+
1 |
x |
2ax2-(2a+1)x+1 |
x |
(2ax-1)(x-1) |
x |
①若a=0,则f′(x)=
-(x-1) |
x |
②若0<a<
1 |
2 |
1 |
2a |
1 |
2a |
所以f(x)在(0,1),(
1 |
2a |
1 |
2a |
③若a=
1 |
2 |
(x-1)2 |
x |
令f′(x)>0,得0<x<
1 |
2a |
1 |
2a |
所以f(x)在(0,
1 |
2a |
1 |
2a |
⑤若a<0,令f′(x)>0,得0<x<1,令f′(x)<0,得x>1,
所以f(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减;
综上,a=0时,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上递减;0<a<
1 |
2 |
1 |
2a |
1 |
2a |
a=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2a |
1 |
2a |
a<0时,f(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减;
(Ⅱ)|f(x1)-f(x2)|≥2|x1-x2|,即|
f(x1)-f(x2) |
x1-x2 |
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