已知函数f(x)＝－alnx＋＋x(a≠0)，(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0垂直，求实数a的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．

Question

已知函数 f ( x )＝－ a ln x ＋ ＋ x ( a ≠0)，
(1)若曲线 y ＝ f ( x )在点(1， f (1))处的切线与直线 x －2 y ＝0垂直，求实数 a 的值；
(2)讨论函数 f ( x )的单调性．

Answer 1

（1） a ＝－ （2）当 a <0时，函数 f ( x )在(0，－ a )上单调递减，在(－ a ，＋∞)上单调递增

由已知得， f ( x )的定义域为{ x | x >0}， f ′( x )＝－ － ＋1( x >0)．
(1)根据题意，有 f ′(1)＝－2，∴－ a －2 a ² ＋1＝－2，即2 a ² ＋ a －3＝0.解得 a ＝1，或 a ＝－ .
(2)∵ f ′( x )＝－ － ＋1＝  ( x >0)．
①当 a >0时，由 f ′( x )>0，及 x >0得 x >2 a ；
由 f ′( x )<0，及 x >0得0< x <2 a .
∴当 a >0时，函数 f ( x )在(2 a ，＋∞)上单调递增，
在(0,2 a )上单调递减．
②当 a <0时，由 f ′( x )>0，及 x >0得 x >－ a ；
由 f ′( x )<0，及 x >0得0< x <－ a .
∴当 a <0时，函数 f ( x )在(0，－ a )上单调递减，
在(－ a ，＋∞)上单调递增．