已知函数，，．（1）若，试判断并用定义证明函数的单调性；（2）当时，求证函数存在反函数．

Question

已知函数 ， ， ．
（1）若 ，试判断并用定义证明函数 的单调性；
（2）当 时，求证函数 存在反函数．

Answer 1

已知函数 ， ， ．
（1）若 ，试判断并用定义证明函数 的单调性；
（2）当 时，求证函数 存在反函数．

（1）增函数；（2）参考解析

试题分析：（1）当 时， ， .通过函数的单调性的定义可证得函数 ， 单调递增.
（2）由 ，所以将x的区间分为两类即 和 .所以函数 .由（1）可得函数 是递增函数.应用单调性的定义同样可得函数 是递增.根据反函数的定义可得函数存在反函数.
试题解析：(1)判断：若 ，函数 在 上是增函数.
证明：当 时， ，
在 上是增函数.2分
在区间 上任取 ，设 ，

所以 ，即 在 上是增函数.6分
(2)因为 ，所以 8分
当 时， 在 上是增函数，9分
证明：当 时， 在 上是增函数（过程略）11分
在在 上也是增函数，当 时， 上是增函数12分
所以任意一个 ，均能找到唯一的 和它对应，
所以 时， 存在反函数14分