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用函数的单调性定义证明函数fx=x^2+1/x在[1,+00)上单调递增
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用函数的单调性定义证明函数fx=x^2+1/x在[1,+00)上单调递增
▼优质解答
答案和解析
证明由f(x)=(x^2+1)/x=x+1/x
设x1,x2属于[1,正无穷大),且x1<x2
则f(x1)-f(x2)
=x1+1/x1-(x2+1/x2)
=(x1-x2)+(1/x1-1/x2)
=(x1-x2)+(x2-x1)/x1x2
=(x1-x2)(1-1/x1x2)
=(x1-x2)(x1x2-1)/x1x2
由x1,x2属于[1,正无穷大),且x1<x2
知x1-x2<0
x1x2>1,即x1x2-1>0
故(x1-x2)(x1x2-1)/x1x2<0
即f(x1)-f(x2)<0
故函数fx=x^2+1/x在[1,+00)上单调递增
设x1,x2属于[1,正无穷大),且x1<x2
则f(x1)-f(x2)
=x1+1/x1-(x2+1/x2)
=(x1-x2)+(1/x1-1/x2)
=(x1-x2)+(x2-x1)/x1x2
=(x1-x2)(1-1/x1x2)
=(x1-x2)(x1x2-1)/x1x2
由x1,x2属于[1,正无穷大),且x1<x2
知x1-x2<0
x1x2>1,即x1x2-1>0
故(x1-x2)(x1x2-1)/x1x2<0
即f(x1)-f(x2)<0
故函数fx=x^2+1/x在[1,+00)上单调递增
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