设f(x)为连续函数且∫f(x)dx=0-a到a则f(x)在-a,a是奇函数f(x)可能是非奇非偶哪个对?

Question

设f(x)为连续函数且 ∫f(x)dx=0 -a到a 则 f(x)在【-a,a】是奇函数 f(x)可能是非奇非偶 哪个对?

Answer 1

明显是后者,可能非奇非偶.首先f(x)是奇函数的话,∫(-a,a)f(x)dx=0肯定成立,
但是∫(-a,a)f(x)dx=0成立,就不一定能推出f(x)是奇函数了.
也就是f(x)在[-a,a]是奇函数是∫(-a,a)f(x)dx=0的充分而非必要条件.
很容易举出反例,f(x)=sinx在[0,π]上的积分为2,因而只需要f(x)=-2/π,x[-π,0]即可.
这样∫(-π,π)f(x)dx=∫(-π,0)f(x)dx+∫(0,π)f(x)dx=∫(-π,0)-2/πdx+∫(0,π)sinxdx=-2+2=0
但是显然f(x)在[-π,π]上不是奇函数.