求：∫∫Dy^2sinxdxdyD：0≤y≤√(4-x^2)有好解,求：∫∫D（y^2sinxdxdy）D：0≤y≤√(4-x^2)用重积分的奇偶性来解

Question

求：∫∫Dy^2sinxdxdy D：0≤y≤√(4-x^2) 有好解,
求：∫∫D（y^2sinxdxdy ） D：0≤y≤√(4-x^2)
用重积分的奇偶性来解

Answer 1

首先画出积分区域,
D是以(0,0)为圆心,2为半径的半圆,0≤y
所以积分区域D是关于y轴对称的
而积分函数y^2sinx是关于x的奇函数,
y^2sinx +y^2sin(-x)=0
这样来想,
关于x的奇函数在积分过后就是关于x的偶函数,
比如2x积分得到x^2,sinx积分得到-cosx等
现在积分区域D又是关于y轴对称的,
那么代入互为相反数的上下限,
关于x的偶函数代入上下限也是相等的,
那么两者相减就等于0