已知数列{an}中，a1=1，且满足递推关系an+1=2a2n+3an+man+1（m∈N*）（1）当m=1时，求数列{an}的通项an；（2）当m∈N*时，数列{an}满足不等式an+1≥an恒成立，求m的取值范围．

Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，且满足递推关系a_n+1=(2a2n+3an+m)/(an+1)（m∈N^*）
（1）当m=1时，求数列{a_n}的通项a_n；
（2）当m∈N^*时，数列{a_n}满足不等式a_n+1≥a_n恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）m=1，由an+1＝(2an2+3an+1)/(an+1)，n∈N^*，
得：an+1＝((2an+1)( an+1))/(an+1)＝2an+1，
a_n+1+1=2（a_n+1），
∴{a_n+1}是以2为首项，公比也是2的等比例数列．
于是a_n+1=2•2^n-1，
∴a_n=2ⁿ-1．
（2）由a_n+1≥a_n，a₁=1，知a_n＞0，
∴(2an2+3an+m)/(an+1)≥an，
即m≥-a_n²-2a_n，
依题意，有m≥-（a_n+1）²+1恒成立．
∵a_n≥1，
∴m≥-2²+1=-3，
即满足题意的m的取值范围是[-3，+∞）．