用数学归纳法证明:((n+1)/2)^n>n!(n>1,n∈N+)

Question

用数学归纳法证明:((n+1)/2)^n>n!(n>1,n∈N+)

Answer 1

证明:
（1）当n=2时, ((n+1)/2)^n= [(2+1)/2]^2=2.25 n!=2*1=2 所以((n+1)/2)^n> n!成立.
（2）当n>2时, 假设n=k时原式成立,即((K+1)/2)^K> K! 即(k+1)^k/2^k>K! .(1)
则n=k+1时,((K+1+1)/2)^(K+1)=(K+2)^(k+1)/(2*2^K) .(2)
因(K+2)^(k+1)>2(k+1)^(k+1) .(3)
(3)代入(2)
((K+1+1)/2)^(K+1)=(K+2)^(k+1)/(2*2^K)>2(k+1)^(k+1)/(2*2^K)=(k+1)^(k+1)/2^K=(k+1)*(k+1)^k/2^K .(4)
将(1)代入(4) 得
((K+1+1)/2)^(K+1)>(k+1)*k!=(k+1)!
即n=k+1时((n+1)/2)^n > n! 成立