利用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n×1×3×…×（2n-1）（n∈N*）”时，从“n=k”变到“n=k+1”时，左边应增乘的是（）A．2B．2k+2C．（2k+1）（2k+2）D．4k+2

Question

利用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2ⁿ×1×3×…×（2n-1）（n∈N^*）”时，从“n=k”变到“n=k+1”时，左边应增乘的是（　　）

A．2
B．2k+2
C．（2k+1）（2k+2）
D．4k+2

Answer 1

假设n=k时等式成立，即（k+1）（k+2）（k+3）…（k+k）=2^k×1×3×…×（2k-1）（k∈N^*），
则当n=k+1时，应有[（k+1）+1][（k+1）+2][（k+1）+3）]•…[（k+1）+（k+1）]=2^k+1×1×3×…×[2（k+1）-1]（k∈N^*），
即（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2）=（k+1）（k+2）（k+3）…（k+k）•((2k+1)(2k+2))/(k+1)=2^k+1×1×3×…×（2k+1）（k∈N^*），
∴从“n=k”变到“n=k+1”时，左边应增乘的是((2k+1)(2k+2))/(k+1)=2（2k+1）=4k+2．
故选D．