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用数学归纳法证明1^2+3^2+5^2……+(2n-1)^2=1/3n(4n^2-1)
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用数学归纳法证明1^2+3^2+5^2……+(2n-1)^2=1/3n(4n^2-1)
▼优质解答
答案和解析
证明：当n=1时,左式=1^2,右式=1/3*（4-1）=1 左式=右式,等式成立
令 当n=k时,1^2+3^2+5^2+…+(2k-1)^2=1/3k*(4k^2-1) 成立 且k是大于等于2的正整数
那么 当n=k+1 时, 左边=1^2+3^2+5^2+…+(2k-1)^2+(2k+1)^2=1/3k*(4k^2-1)+（2k+1）^2
=1/3k*(2k+1）（2k-1）+（2k+1）^2=（1/3k（2k-1）+（2k+1））（2k+1）
=1/3（2k^2+5k+3）（2k+1）=1/3（k+2）（2k+3）（2k+1）
右边=1/3（k+2）（2k+3）（2k+1）
所以 左边=右边,因此等式成立,因此当n=k+1时,该等式成立
所以 1^2+3^2+5^2+…+(2n-1)^2=1/3n(4n^2-1)是真命题
令 当n=k时,1^2+3^2+5^2+…+(2k-1)^2=1/3k*(4k^2-1) 成立 且k是大于等于2的正整数
那么 当n=k+1 时, 左边=1^2+3^2+5^2+…+(2k-1)^2+(2k+1)^2=1/3k*(4k^2-1)+（2k+1）^2
=1/3k*(2k+1）（2k-1）+（2k+1）^2=（1/3k（2k-1）+（2k+1））（2k+1）
=1/3（2k^2+5k+3）（2k+1）=1/3（k+2）（2k+3）（2k+1）
右边=1/3（k+2）（2k+3）（2k+1）
所以 左边=右边,因此等式成立,因此当n=k+1时,该等式成立
所以 1^2+3^2+5^2+…+(2n-1)^2=1/3n(4n^2-1)是真命题
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