已知数列中，，，p是正常数)．(Ⅰ)当p=2时，用数学归纳法证明(Ⅱ)是否存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有．

Question

已知数列中，，，p是正常数)．
(Ⅰ)当p=2时，用数学归纳法证明
(Ⅱ)是否存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有．____

Answer 1

【分析】(Ⅰ)求出p=2时的表达式，利用数学归纳法的证明步骤，证明不等式，(1)验证n=1不等式成立；(2)假设n=k时成立，证明n=k+1时成立．
(Ⅱ)(1)验证n=1不等式成立；(2)假设n=k时成立，证明n=k+1时成立．

证明：由x₁=1，知，x_n>0(n∈N^*)，
(Ⅰ)当p=2时，，
(1)当n=1时，x₁=1，命题成立．
(2)假设当n=k时，，
则当n=k+1时，，
即n=k+1时，命题成立．
根据(1)(2)，(n∈N^*)．(4分)
(Ⅱ)用数学归纳法证明，x_n+1>x_n(n∈N^*)．
(1)当n=1时，>1=x₁，命题成立．
(2)假设当n=k时，x_k+1>x_k，
∵x_k>0，p>0，
∴，
则当n=k+1时，，
即n=k+1时，命题成立．
根据(1)(2)，x_n+1>x_n(n∈N^*)．(8分)
故不存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有x_M≥x_n．(10分)

【点评】本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤，注意证明的过程两步骤缺一不可，注意形式的一致性，考查计算能力．