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用数学归纳法证明:3⋅2-1+4⋅2-2+5⋅2-3+…+(n+2)⋅2-n=4-n+42n.(n∈N*)
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用数学归纳法证明:3⋅2-1+4⋅2-2+5⋅2-3+…+(n+2)⋅2-n=4-
.(n∈N*)
n+4 |
2n |
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)当n=1时,左端=
,右端=4-
=
,左端=右端,等式成立;
(2)假设n=k时等式成立,即3⋅2-1+4⋅2-2+5⋅2-3+…+(k+2)⋅2-k=4-
,
那么,n=k+1时,
3⋅2-1+4⋅2-2+5⋅2-3+…+(k+2)⋅2-k+[(k+1)+2]•2-(k+1)=4-
+[(k+1)+2]•2-(k+1)=4-
+
=4-
=4-
,
即n=k+1时,等式也成立;
综合(1)(2)可知,对任意n∈N*,等式成立.
3 |
2 |
1+4 |
21 |
3 |
2 |
(2)假设n=k时等式成立,即3⋅2-1+4⋅2-2+5⋅2-3+…+(k+2)⋅2-k=4-
k+4 |
2k |
那么,n=k+1时,
3⋅2-1+4⋅2-2+5⋅2-3+…+(k+2)⋅2-k+[(k+1)+2]•2-(k+1)=4-
k+4 |
2k |
2k+8 |
2k+1 |
k+3 |
2k+1 |
k+5 |
2k+1 |
(k+1)+4 |
2k+1 |
即n=k+1时,等式也成立;
综合(1)(2)可知,对任意n∈N*,等式成立.
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