用数学归纳法证明：3⋅2-1+4⋅2-2+5⋅2-3+…+（n+2）⋅2-n=4-n+42n．（n∈N*）

Question

用数学归纳法证明：3⋅2^-1+4⋅2^-2+5⋅2^-3+…+（n+2）⋅2^-n=4-(n+4)/(2n)．（n∈N*）

Answer 1

证明：（1）当n=1时，左端=(3)/(2)，右端=4-(1+4)/(21)=(3)/(2)，左端=右端，等式成立；
（2）假设n=k时等式成立，即3⋅2^-1+4⋅2^-2+5⋅2^-3+…+（k+2）⋅2^-k=4-(k+4)/(2k)，
那么，n=k+1时，
3⋅2^-1+4⋅2^-2+5⋅2^-3+…+（k+2）⋅2^-k+[（k+1）+2]•2^-（k+1）=4-(k+4)/(2k)+[（k+1）+2]•2^-（k+1）=4-(2k+8)/(2k+1)+(k+3)/(2k+1)=4-(k+5)/(2k+1)=4-((k+1)+4)/(2k+1)，
即n=k+1时，等式也成立；
综合（1）（2）可知，对任意n∈N*，等式成立．