请问用数学归纳法和展开系数法证明二项式定理分别有哪些优缺点?

Question

请问用数学归纳法和展开系数法证明二项式定理分别有哪些优缺点?

Answer 1

二项式定理（a+b）的n次方=Cn0a^nb^0+Cn1a^(n-1)b^1+……+Cnna^0b^n (打不出来只好粘了,能看懂吧).用展开系数法属于正向的推演这个公式,也就是用（a+b）不断地乘（a+b）,二次方的、三次方的,直到n次方,都列出结果,然后找出规律,其系数可用一个数列表示；数学归纳法实际上是在找出这个规律后,求证是否成立.数学归纳法的证明须满足条件有二：1、存在r属于n,使得Ar=（a+b）^r,能够推导出Ar+1=（a+b）^r+1；2、A1=(a+B)^1成立.那么假设的（a+b）的n次方=Cn0a^nb^0+Cn1a^(n-1)b^1+……+Cnna^0b^n 这个公式才能成立.具体证明如下：设（a+b）^r= Cr0a^rb^0+Cr1a^(r-1)b^1+……+Crra^0b^r成立 则 (a+b) ^r+1=(a+b)^rx(a+b),将其展开得为（a+b）^rxa+（a+b）^rxb,进一步推导得C（r+1）0a^r+1b^0+Cr1a^rb^1+……+C（r+1）（r+1）a^1b^r和 C（r+1）0a^rb^1+Cr+1a^(r-1)b^2+……+C（r+1）（r+1）a^0b^r+1两部分,合并同类向后 只有C（r+1）0a^r+1b^0和C（r+1）（r+1）a^0b^r+1无法合并,恰恰和将（r+1）带入r后的假设一致,故此第一个条件证明成立.第二个条件（a+b）^1=a+b很容易证明,所以当初的假设即a+b）^r= Cr0a^rb^0+Cr1a^(r-1)b^1+……+Crra^0b^r是成立的,则将r 换成n,这个等式也成立.