用数学归纳法证明：An=5n+2·3n-1+1(n∈N*)能被8整除.

Question

用数学归纳法证明：A _n =5 ⁿ +2·3 ^n-1 +1(n∈N ^* )能被8整除.

Answer 1

证明一：(1)当n=1时 A ₁ =5+2+1=8 命题成立.

(2)假设当n=k时 命题成立 即A _k =5 ^k +2·3 ^k-1 +1(n∈N ^* )能被8整除 那么当n=k+1时 A _k+1 =5 ^k+1 +2·3 ^k +1=5(5 ^k +2·3 ^k-1 +1)-4·(3 ^k-1 +1)=5A _k -4(3 ^k-1 +1).

因为A _k 能被8整除 3 ^k-1 +1是偶数 4·(3 ^k-1 +1)也能被8整除 所以A _k+1 也能被8整除 即n=k+1时 命题也成立.

由(1)(2)知 对一切n∈N ^* 命题成立.

证明二：也可以作差 利用归纳假设.

A _k+1 -A _k =5 ^k+1 +2·3 ^k +1-(5 ^k +2·3 ^k-1 +1)=4(5 ^k +3 ^k-1 )

∵A _k 能被8整除 5 ^k +3 ^k-1 是偶数 4(5 ^k +3 ^k-1 )也能被8整除 所以A _k+1 也能被8整除.(其余如证明一).