已知数列{an}满足：a1=3，an+1=an2-nan+1．（Ⅰ）求a2，a3，a4的值；（Ⅱ）猜测an与n+2的关系，并用数学归纳法证明．

Question

已知数列{a_n}满足：a₁=3，a_n+1=a_n²-na_n+1．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）猜测a_n与n+2的关系，并用数学归纳法证明．

Answer 1

（Ⅰ）依题意，a₂=a₁²-a₁+1=3²-3+1=7，
a₃=a₂²-2a₂+1=7²-2×7+1=36，
a₄=a₃²-3a₃+1=36²-3×36+1=1189；
（Ⅱ）结论：a_n≥n+2的关系．
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，a₁=3=1+2，不等式成立；
②假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即a_k≥k+2，
那么a_k+1=a_k（a_k-k）+1
≥（k+2）（k+2-k）+1
=2k+5
≥k+3，
也就是说，当n=k+1时，a_k+1≥（k+1）+2；
由①、②可知：对于所有n≥1，有a_n≥n+2．