已知复数z1=4-m2+（m-2）i，z2=λ+2sinθ+（cosθ-2）i，（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）．（1）若z1为纯虚数，求实数m的值；（2）若z1=z2，求实数λ的取值范围．

Question

已知复数z₁=4-m²+（m-2）i，z₂=λ+2sinθ+（cosθ-2）i，（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）．
（1）若z₁为纯虚数，求实数m的值；
（2）若z₁=z₂，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）∵z₁为纯虚数，则

4-m2=0

m-2≠0

，
解得：m=-2；
（2）由z₁=z₂，得

4-m2=λ+2sinθ

m-2=cosθ-2

，
∴λ=4-cos²θ-2sinθ=sin²θ-2sinθ+3=（sinθ-1）²+2．
∵-1≤sinθ≤1，
∴当sinθ=1时，λ_min=2；
当sinθ=-1时，λ_max=6．
∴实数λ的取值范围是[2，6]．