若a，b为非零向量，求证：||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，并说明取等号的条件．

Question

若

a

，

b

为非零向量，求证：||

a

|-|

b

||≤|

a

+

b

|≤|

a

|+|

b

|，并说明取等号的条件．

Answer 1

证明：分三种情况考虑．
（1）当a、b共线且方向相同时，|a|-|b|<|a+b|=|a|+|b|，|a|-|b|=|a-b|<|a|+|b|．
（2）当a、b共线且方向相反时，
∵a-b=a+（-b），a+b=a-（-b），
利用（1）的结论有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|，|a|-|b|<|a-b|=|a|+|b|．
（3）当a，b不共线时，设

OA

=a，

OB

=b，作

OC

=

OA

+

OB

=a+b，

BA

=

OA

-

OB

=a-b，
利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得||a|-|b||<|a±b|<|a|+|b|．
综上得证．