如图，在正方形ABCD中，E是AB上的点，⊙O是以BC为直径的圆．（1）若E是AB中点，连接DE，AO，求证：AO⊥DE；（2）若BE=2，DE=10，试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．

Question

如图，在正方形ABCD中，E是AB上的点，⊙O是以BC为直径的圆．
（1）若E是AB中点，连接DE，AO，求证：AO⊥DE；
（2）若BE=2，DE=10，试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ABC=90°，
∴E是AB上的点，⊙O是以BC为直径的圆，
∴AE=BO，
在△ABO和△DAE中

AB＝DA

∠ABO＝∠DAE

BO＝AE

，
∴△ABO≌△DAE（SAS），
∴∠BAO=∠ADE，
而∠BAO+∠OAD=90°，
∴∠ADE+∠OAD=90°，
∴AO⊥DE；
（2）直线DE与⊙O相切．理由如下：
设正方形的边长为a，则AE=a-2，
在Rt△ADE中，∵AE²+AD²=DE²，
∴（a-2）²+a²=10²，解得a₁=-6（舍去），a₂=8，
∴正方形边长为8，
∴CD=8，OC=4，
作OF⊥DE于F，连接OE、OD，如图，
在Rt△OBE中，OE=√(OB2+BE2)=√(42+22)=2√(5)，
在Rt△OCD中，OD=√(OC2+CD2)=4√(5)，
∴OE²+OD²=DE²，
∴△ODE为直角三角形，
∴