如图，已知△ABC中BC边上的垂直平分线DE与∠BAC得平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC交于点G．求证：（1）BF=CG；（2）AF=12（AB+AC）．

Question

如图，已知△ABC中BC边上的垂直平分线DE与∠BAC得平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC交于点G．求证：

（1）BF=CG；
（2）AF=(1)/(2)（AB+AC）．

Answer 1

证明：（1）
连接BE和CE，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠BFE=∠EGC=90°，EF=EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中

BE=EG

EF=EG

∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），
∴BF=CG；

（2）∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠AFE=∠AGE=90°，∠FAE=∠GAE，
在△AFE和△AGE中

∠FAE=∠GAE

∠AFE=∠AGE

AE=AE

∴△AFE≌△AGE，
∴AF=AG，
∵BF=CG，
∴(1)/(2)（AB+AC）=(1)/(2)（AF-BF+AG+CG）
=(1)/(2)（AF+AF）
=AF，
即AF=(1)/(2)（AB+AC）．