在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是BC边上一点，BN⊥AD交AD的延长线于点N．（1）如图1，若CM∥BN交AD于点M．①直接写出图1中所有与∠MCD相等的角：；（注：所找到的相等关系可以直

Question

在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是BC边上一点，BN⊥AD交AD的延长线于点N．

（1）如图1，若CM∥BN交AD于点M．
①直接写出图1中所有与∠MCD相等的角：___；（注：所找到的相等关系可以直接用于第②小题的证明过程
②过点C作CG⊥BN，交BN的延长线于点G，请先在图1中画出辅助线，再回答线段AM、CG、BN有怎样的数量关系，并给予证明．
（2）如图2，若CM∥AB交BN的延长线于点M．请证明：∠MDN+2∠BDN=180°．

Answer 1

（1）①∵CM∥BN，BN⊥AN，
∴∠CMD=∠N=90°，∠MCD=∠CBN，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACM+∠CAD=90°，∠MCD+∠ACM=90°，
∴∠MCD=∠CAD，
故答案为∠CAD、∠CBN．

②在图1中画出图形，如图所示，

结论：AM=CG+BN，
证明：在△ACM和△BCG中，

∠CAM=∠CBG

∠AMC=∠G=90°

AC=BC

，
∴△ACM≌△BCG，
∴CM=CG，AM=BG，
∵∠CMN=∠MNG=∠G=90°，
∴四边形MNGC是矩形，
∴CM=GN=CG，
∴AM=BG=BN+GN=BN+CG．

（2）过点C作CE平分∠ACB，交AD于点E．

∵在△ACD和△BDN中，∠ACB=90°，AN⊥ND
∴∠4+∠ADC=90°=∠5+∠BDN
又∵∠ADC=∠BDN
∴∠4=∠5，
∵∠ACB=90°，AC=BC，CE平分∠ACB，
∴∠6=45°，∠2=∠3=45°
又∵CM∥AB，
∴∠1=∠6=45°=∠2=∠3，
在△ACE和△BCM中，

∠4=∠5

AC=BC

∠3=∠1

，
∴△ACE≌△BCM（ASA）
∴CE=CM
又∵∠1=∠2，CD=CD
∴∠CDE=∠CDM
又∵∠BDN=∠CDE，∠MDN+∠CDE+∠CDM=180°
∴∠MDN+2∠BDN=180°．