在正方形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，过点C作CF⊥AF的延长线于点F，连接DF，过点D作DG⊥DF交AE于点G．（1）若DG=2，求FG的长；（2）若E为CD的中点，求证：CF+EF=GE．

Question

在正方形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，过点C作CF⊥AF的延长线于点F，连接DF，过点D作DG⊥DF交AE于点G．

（1）若DG=2，求FG的长；
（2）若E为CD的中点，求证：CF+EF=GE．

Answer 1

（1） ∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠DAE+∠AED=90°，
∵CF⊥AE，
∴∠ECF+∠CEF=90°，
∴∠DAE=∠ECF，
同理，∵∠ADG+∠GDE=90°，∠GDE+∠CDF=90°，
∴∠ADG=∠CDF，
在△AGD与△CFD中，

∠DAE=∠ECF

AD=CD

∠ADG=∠CDF

，
∴△AGD≌△CFD（ASA），
∴DG=DF，
∴FG=√(22+22)=2√(2)；

（2）∵由（1）知△AGD≌△CFD，
∴DG=DF，
∵DG⊥DF，
∴△DGF是等腰直角三角形，
过点D作DK⊥AE于点K，则DK=GK，
在△DKE与△CFE中，

∠DEK=∠CEF

∠DKE=∠CFE

DE=CE

，
∴△DKE≌△CFE（AAS），
∴EK=EF，DK=CF，
∴GK=CF，
∴CF+EF=EK+GK=GE．