在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为8.过定点M(0，3)的直线l1与椭圆C交于G，H两点(点G在点M

Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F ₁ ，F ₂ 在x轴上，离心率为 .过F ₁ 的直线交椭圆C于A，B两点，且△ABF ₂ 的周长为8.过定点M(0，3)的直线l ₁ 与椭圆C交于G，H两点(点G在点M，H之间)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l ₁ 的斜率k>0，在x轴上是否存在点P(m，0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

(1) ＝1(2)

(1)设椭圆的方程为 ＝1(a>b>0)，由离心率e＝ ＝ ，△ABF ₂ 的周长为|AF ₁ |＋|AF ₂ |＋|BF ₁ |＋|BF ₂ |＝4a＝8，得a＝2，c＝1，则b ² ＝a ² －c ² ＝3.
所以椭圆C的方程为 ＝1.
(2)由题意可知，直线l ₁ 的方程为y＝kx＋3(k>0)．
由 得(3＋4k ² )x ² ＋24kx＋24＝0，①
Δ＝(24k) ² －4×24×(3＋4k ² )>0，解得k> .
设椭圆的弦GH的中点为N(x ₀ ，y ₀ )，则“在x轴上是否存在点P(m，0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形”等价于“在x轴上是否存在点P(m，0)，使得PN⊥l ₁ ”．
设G(x ₁ ，y ₁ )，H(x ₂ ，y ₂ )，由韦达定理，得x ₁ ＋x ₂ ＝－ ，
则x ₀ ＝ ＝－ ，所以y ₀ ＝kx ₀ ＋3＝ ，
即N ，k _PN ＝－ .
从而－ ·k＝－1，
解得m＝－ .
又因为m′(k)＝ >0，
所以函数m＝－ 在定义域 上单调递增，且m _min ＝m ＝－ ，即m∈ .
故存在满足条件的点P(m，0)，m的取值范围为