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如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8.以AB为直径的⊙O交AC于D,E是BC的中点,连接ED并延长交BA的延长线于点F.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)求DB的长;(3)求S△FAD:S△FDB的值.
题目详情
如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8.以AB为直径的⊙O交AC于D,E是BC的中点,连接ED并延长交BA的延长线于点F.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)求DB的长;
(3)求S△FAD:S△FDB的值.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)求DB的长;
(3)求S△FAD:S△FDB的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接BD,DO,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
∴∠CDB=90°
又∵E为BC的中点,
∴DE=EB=EC,∴∠EDB=∠EBD.
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD.
∵∠ABC=90°,
∴∠EDB+∠OBD=90°.
即OD⊥DE.
∴DE是⊙O的切线.
(2)在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,
∴AC=10,
∵BC2=CD•AC,
∴CD=
,AD=
.
又∵△ADB∽△BDC,
∴BD2=AD•CD=
•
.
∴BD=
.
(3)∵∠FDA=∠FBD,∠F=∠F,
∴△FDA∽△FBD,
∴S△FAD:S△FDB=(
)2=
.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
∴∠CDB=90°
又∵E为BC的中点,
∴DE=EB=EC,∴∠EDB=∠EBD.
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD.
∵∠ABC=90°,
∴∠EDB+∠OBD=90°.
即OD⊥DE.
∴DE是⊙O的切线.
(2)在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,
∴AC=10,
∵BC2=CD•AC,
∴CD=
32 |
5 |
18 |
5 |
又∵△ADB∽△BDC,
∴BD2=AD•CD=
32 |
5 |
18 |
5 |
∴BD=
24 |
5 |
(3)∵∠FDA=∠FBD,∠F=∠F,
∴△FDA∽△FBD,
∴S△FAD:S△FDB=(
AD |
BD |
9 |
16 |
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