如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点E在BC上，点D在CA的延长线上，DE交AB于点O，且∠CDE=30°，AD=nBE．（1）如图1，当n＝3时，求证：OA=OB；（2）如图2，当n=1时，求OBOA的值；（3）当n=2323时，OBOA＝12

Question

如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点E在BC上，点D在CA的延长线上，DE交AB于点O，且∠CDE=30°，AD=nBE．
（1）如图1，当n＝√(3)时，求证：OA=OB；
（2）如图2，当n=1时，求(OB)/(OA)的值；
（3）当n=

2√(3)

2√(3)

时，(OB)/(OA)＝(1)/(2)．

Answer 1

（1）证明：过点B作BF⊥BC，交DE的延长线于点F，
∵∠C=90°，
∴BF∥CD，
∴∠F=∠D=30°，
∴BF＝√(3)BE，当n＝√(3)时，
即AD＝√(3)BE，
∴BF=AD，
在△BOF和△AOD中，

∠F＝∠D

∠BOF＝∠AOD

BF＝AD

，
∴△BOF≌△AOD（AAS），
∴OB=OA；
（2）由（1）可知BF∥CD，
∴△BOF∽△AOD，
∴(OB)/(OA)＝(BF)/(AD)＝(BF)/(BE)＝√(3)；
（3）∵△BOF∽△AOD，
∴BF：AD=BO：AD，
∵OB：OA=1：2，
∴BF：AD=1：2，
∵AD=nBE．
∴BE=(1)/(n)AD，
∴BE=(1)/(n)×2BF=(2)/(n)BF，
∵∠F=30°，
∴(BE)/(BF)=(√(3))/(3)，
∴(2)/(n)＝(√(3))/(3)，
∴n=2√(3)．
故答案为：2√(3)．