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如图,直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(Ⅰ)求证AE⊥平面BCE;(Ⅱ)求二面角B-AC-E的大小;(Ⅲ)求点D到平面ACE的距离.
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如图,直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE. (Ⅰ)求证AE⊥平面BCE; (Ⅱ)求二面角B-AC-E的大小; (Ⅲ)求点D到平面ACE的距离. ![]() |
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答案和解析
(I)∵BF⊥平面ACE, ∴BF⊥AE, ∵二面角D-AB-E为直二面角, ∴平面ABCD⊥平面ABE,又BC⊥AB,∴BC⊥平面ABE,∴BC⊥AE, 又BF⊂平面BCE,BF∩BC=B,∴AE⊥平面BCE. ![]() ∵ABCD为正方形,∴BD⊥AC, ∵BF⊥平面ACE,BG⊥AC,⇒AC⊥平面BFG, ∴FG⊥AC,∠FGB为二面角B-AC-E的平面角,由(I)可知,AE⊥平面BCE,∴AE⊥EB, 又AE=EB,AB=2,AE=BE=
在直角三角形BCE中,CE=
在正方形中,BG=
∴二面角B-AC-E为arcsin
(III)由(II)可知,在正方形ABCD中,BG=DG,D到平面ACE的距离等于B到平面ACE的距离,BF⊥平面ACE,线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离,即为D到平面ACE的距离所以D到平面的距离为
另法:过点E作EO⊥AB交AB于点O.OE=1. ∵二面角D-AB-E为直二面角,∴EO⊥平面ABCD. 设D到平面ACE的距离为h, ∵V D-ACE =V E-ACD ,∴
∵AE⊥平面BCE,∴AE⊥EC.∴h=
∴点D到平面ACE的距离为
![]() (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴, 过O点平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,如图. ∵AE⊥面BCE,BE⊂面BCE,∴AE⊥BE, 在Rt△AEB中,AB=2,O为AB的中点, ∴OE=1.∴A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2),
设平面AEC的一个法向量为
则
解得
令x=1,得
又平面BAC的一个法向量为
∴cos(
∴二面角B-AC-E的大小为arccos
(III)∵AD ∥ z轴,AD=2,∴
∴点D到平面ACE的距离d=|
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