已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠DAC的平分线AE交CD于点E，过点D作DM⊥AE于F，交AC于点M，共过点A作AN⊥AE交CB延长线于点N．（1）若AD=3，求△CAN的面积；（2）求证：AN=DM+2EF．

Question

已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠DAC的平分线AE交CD于点E，过点D作DM⊥AE于F，交AC于点M，共过点A作AN⊥AE交CB延长线于点N．

（1）若AD=3，求△CAN的面积；
（2）求证：AN=DM+2EF．

Answer 1

（1） ∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC=CD=3，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠DC=90°，∠CAB=∠CAD=∠ACB=45°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠EAC=22.5°，
∵AE⊥AN，
∴∠NAE=90°，∠NAC=90°-∠CAE=67.5°，∠N=180°-∠NAC-∠CN=67.5°，
∴∠N=∠NAC
∴CA=CN=√(AB2+BC2)=√(32+32)=3√(2)，
∴S_△ACN=(1)/(2)×CN×AB=(1)/(2)×3√(2)×3=(9√(2))/(2)．
（2）在FA上截取FH=FE，连接DH．
∵AE⊥DM，
∴DH=DE，
∴∠DHE=∠DEH=90°-∠DAE=67.5°，
∴∠MDC=∠HDF=90°-∠DEA=22.5°，
∴∠ADH=90°-∠HDE=45°，
∴∠ADH=∠MCD，∠DAH=∠MDC，
在△ADH和△DCM中，

∠DAH=∠CDM

∠ADH=∠DCM

AD=DC

，
∴△ADH≌△DCM，
∴AH=DM，
在△ABN和△ADE中，

∠NAB=∠DAE

AB=AD

∠ABN=∠ADE

，
∴△ABN≌△ADE，
∴AN=AE，
∴AN=AH+HE=DM+2EF．