如图所示．正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G．求证：△GHD是等腰三角形．

Question

如图所示．正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G．求证：△GHD是等腰三角形．

Answer 1

证明：∵四边形ABCD是正方形，DE=AD，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
∴∠1=∠4．
又∵BD=FD，
∴∠1=∠2=∠3=(1)/(2)×45°，∠3=∠4=(1)/(2)×45°，
∴BC=GC=CD．
因此，△DCG为等腰三角形，且顶角∠DCG=45°，
∴∠CDG=(1)/(2)（180°-45°）=(135°)/(2)，
又∵∠GHD=90°-∠3=90°-(45°)/(2)=(135°)/(2)，
∴∠HDG=∠GHD，
从而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．