高三向量证明三角形中垂线交于一点已知：△ABC,E,F分别为AC与AB的中点,过点E作直线垂直AC,过点F作直线垂直AC,两直线交于P点,过P作直线PD垂直BC.向量证明BD=DC.备注：没想到初中直接轻松证明的

Question

高三向量证明三角形中垂线交于一点
已知：△ABC,E,F分别为AC与AB的中点,过点E作直线垂直AC,过点F作直线垂直AC,两直线交于P点,过P作直线PD垂直BC.向量证明BD=DC.
备注：没想到初中直接轻松证明的题目改向量证明,快证吐血了.
已知：△ABC，E,F分别为AC与AB的中点，过点E作直线垂直AC，过点F作直线垂直AB，两直线交于P点，过P作直线PD垂直BC。向量证明BD=DC。
(刚才题目打错）

Answer 1

把△ABC放在直角坐标中,A在y轴上,B,C在x轴上,
设A(0,a),B(b,0),C(c,0),P(x,y),E(c/2,a/2),F(b/2,a/2)
AB=(b,-a),AC=(c,-a),PF=(b/2-x,a/2-y),PE=(c/2-x,a/2-y)
因为PE⊥AC,PF⊥AB,PE*AC=0,PF*AB=0
即 (c/2-x,a/2-y) * (c,-a)=0 (b/2-x,a/2-y)* (b,-a)=0
c^2/2-cx-a^2/2+ay=0,b^2/2-bx-a^2/2+ay=0,二式相减,得x=(b+c)/2
因为PD⊥BC,所以D的横坐标也是（b+c）/2,所以BD=DC