已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左、右焦点分别为F1、F2，点P（2，），点F2在线段PF1的中垂线上，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F

Question

已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率e= ，左、右焦点分别为F ₁ 、F ₂ ，点P（2， ），点F ₂ 在线段PF ₁ 的中垂线上，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F ₂ M与F ₂ N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，试问直线l是否过定点？若过，求该定点的坐标。

Answer 1

已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率e= ，左、右焦点分别为F ₁ 、F ₂ ，点P（2， ），点F ₂ 在线段PF ₁ 的中垂线上，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F ₂ M与F ₂ N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，试问直线l是否过定点？若过，求该定点的坐标。

（1）由椭圆C的离心率e= ，
椭圆C的左、右焦点分别为F ₁ （-c，0）、F ₂ （c，0），
又点F ₂ 在线段PF ₁ 的中垂线上，
∴|F ₁ F ₂ |=|PF ₂ |，
∴（2c） ² =（ ） ² +（2-c） ² ，解得c=1，
∴a ² =2，b ² =1，
∴椭圆的方程为 +y ² =1；
2）由题意，直线MN的方程为y=kx+m，
由 消去y得（2k ² +1）x ² +4kmx+2m ² -2=0，
设M（x ₁ ，y ₁ ），N（x ₂ ，y ₂ ），
则 ，
且 ， ，
由已知α+β=π得 ，
即 ，
化简，得2kx ₁ x ₂ +（m-k）（x ₁ +x ₂ ）-2m=0，
∴2k· ，解得m=-2k，
∴直线MN的方程为y=k（x-2），
因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）。