如图，在△DEF中，∠A=∠D=90°，AB=DE=3，AC=2DF=4（1）判断这两个三角形是否相似？为什么？（2）能否分别作一条辅助线将这两个三角形分割，使△ABC分割成的三角形与△DEF分割成的两个三角形

Question

如图，在△DEF中，∠A=∠D=90°，AB=DE=3，AC=2DF=4
（1）判断这两个三角形是否相似？为什么？
（2）能否分别作一条辅助线将这两个三角形分割，使△ABC分割成的三角形与△DEF分割成的两个三角形分别对应相似？请设计分割方案，并给出说明．
（3）写出所有符合（2）的对应相似的两个三角形的相似比．

Answer 1

（1）不相似．
∵在Rt△BAC中，∠A=90°，AB=3，AC=4；
在Rt△EDF中，∠D=90°，DE=3，DF=2，
∵(AB)/(DF)=(3)/(2)，(AC)/(DE)=(4)/(3)，
∴(AB)/(DF)≠(AC)/(DE)，
∴Rt△BAC与Rt△DFE不相似．

（2）能作如图所示的辅助线进行分割．
证明：作∠BAM=∠E，交BC于M；作∠NDE=∠B，交EF于N．
由作法和已知条件可知△BAM∽△DEN．
∵∠BAM=∠E，∠NDE=∠B，∠AMC=∠BAM+∠B，∠FND=∠E+∠NDE，
∴∠AMC=∠FND．
∵∠FDN=90°-∠NDE，∠C=90°-∠B，
∴∠FDN=∠C．
∴△AMC∽△FND．

（3）相似比分别为1与2．
证明：∵△BAM∽△DEN，
∴(BA)/(DE)＝(3)/(3)=1，
∵△AMC∽△FND，
∴(AC)/(FD)=(4)/(2)=2．