如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=xm，长方形的面积为ym2，要使长方形的面积最大，求其边长x．

Question

如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=x m，长方形的面积为y m²，要使长方形的面积最大，求其边长x．

Answer 1

根据题意得：AD=BC=(y)/(x)，上边三角形的面积为：(1)/(2)（5-x）(y)/(x)，右侧三角形的面积为：(1)/(2)x（12-(y)/(x)），
所以y=30-(1)/(2)（5-x） (y)/(x)-(1)/(2)x（12-(y)/(x)），
整理得y=-(12)/(5)x²+12x，
=-(12)/(5)[x2-5x+（ (5)/(2)）2-(25)/(4)]，
=-(12)/(5)（x-(5)/(2)）²+15，
∵−(12)/(5) ＜0
∴长方形面积有最大值，此时边长x应为 (5)/(2)m．
故要使长方形的面积最大，其边长(5)/(2)m．