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三棱锥P-ABC中,PC、AC、BC两两垂直,BC=PC=1,AC=2,E、F、G分别是AB、AC、AP的中点.(1)证明:平面GFE∥平面PCB;(2)求二面角B-AP-C的正切值;(3)求直线PF与平面PAB所成角的正弦值.
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![](https://www.zaojiaoba.cn/zhidao/pic/item/d50735fae6cd7b89bd06b1320c2442a7d9330e1c.jpg)
(1)证明:平面GFE∥平面PCB;
(2)求二面角B-AP-C的正切值;
(3)求直线PF与平面PAB所成角的正弦值.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:因为E、F、G分别是AB、AC、AP的中点,
所以EF∥BC,GF∥CP.
因为EF⊂平面PCB,GF⊄平面PCB,
所以EF∥平面PCB,GF∥平面PCB.
又EF∩GF=F,所以平面GFE∥平面PCB.
(2)过点C在平面PAC内作CH⊥PA,垂足为H,连接HB.
因为BC⊥PC,BC⊥AC,且PC∩AC=C,
所以BC⊥平面PAC,所以HB⊥PA,
所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角.
因为BC=PC=1,AC=2,E、F、G分别是AB、AC、AP的中点.
所以CH=
,所以tan∠BHC=
=
,
所以二面角B-AP-C的正切值是
.
(3)如图,设PB的中点为K,连接KC,AK,
因为△PCB为等腰直角三角形,所以KC⊥PB,
又AC⊥PC,AC⊥BC,且PC∩BC=C,
所以AC⊥平面PCB,所以AK⊥PB,
又因为AK∩KC=K,所以PB⊥平面AKC,
又PB⊂平面PAB,所以平面AKC⊥平面PAB.
在平面AKC内,过点F作FM⊥AK,垂足为M.
因为平面AKC⊥平面PAB,所以FM⊥平面PAB,连接PM,
则∠MPF是直线PF与平面PAB所成的角.
由题意PF=
,FM=
,所以sin∠MPF=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/eac4b74543a98226f1aba0968982b9014a90eb1d.jpg)
所以EF∥BC,GF∥CP.
因为EF⊂平面PCB,GF⊄平面PCB,
所以EF∥平面PCB,GF∥平面PCB.
又EF∩GF=F,所以平面GFE∥平面PCB.
(2)过点C在平面PAC内作CH⊥PA,垂足为H,连接HB.
因为BC⊥PC,BC⊥AC,且PC∩AC=C,
所以BC⊥平面PAC,所以HB⊥PA,
所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角.
因为BC=PC=1,AC=2,E、F、G分别是AB、AC、AP的中点.
所以CH=
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所以二面角B-AP-C的正切值是
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(3)如图,设PB的中点为K,连接KC,AK,
因为△PCB为等腰直角三角形,所以KC⊥PB,
又AC⊥PC,AC⊥BC,且PC∩BC=C,
所以AC⊥平面PCB,所以AK⊥PB,
又因为AK∩KC=K,所以PB⊥平面AKC,
又PB⊂平面PAB,所以平面AKC⊥平面PAB.
在平面AKC内,过点F作FM⊥AK,垂足为M.
因为平面AKC⊥平面PAB,所以FM⊥平面PAB,连接PM,
则∠MPF是直线PF与平面PAB所成的角.
由题意PF=
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