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如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,B,AB=2,与y轴交于点C,对称轴为直线x=2.(1)求抛物线的函数表达式;(2)设P为对称轴上一动点,求△APC周长的最小值;(3)设D为抛物线上一点
题目详情
如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,B,AB=2,与y轴交于点C,对称轴为直线x=2.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)设P为对称轴上一动点,求△APC周长的最小值;
(3)设D为抛物线上一点,E为对称轴上一点,若以点A,B,D,E为顶点的四边形是菱形,则点D的坐标为______.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)设P为对称轴上一动点,求△APC周长的最小值;
(3)设D为抛物线上一点,E为对称轴上一点,若以点A,B,D,E为顶点的四边形是菱形,则点D的坐标为______.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图,∵AB=2,对称轴为直线x=2.
∴点A的坐标是(1,0),点B的坐标是(3,0).
∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,B,
∴1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根.
由韦达定理,得
1+3=-b,1×3=c,
∴b=-4,c=3,
∴抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3;
(2)如图1,连接AC、BC,BC交对称轴于点P,连接PA.
由(1)知抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3,A(1,0),B(3,0),
∴C(0,3),
∴BC=
=3
,AC=
=
.
∵点A、B关于对称轴x=2对称,
∴PA=PB,
∴PA+PC=PB+PC.
此时,PB+PC=BC.
∴点P在对称轴上运动时,(PA+PC)的最小值等于BC.
∴△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=3
+
;
(3)如图2,根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分,抛物线的对称性”得到点D是抛物线y=x2-4x+3的顶点坐标,即(2,-1),
当E、D点在x轴的上方,即DE∥AB,AE=AB=BD=DE=2,此时不合题意,
故点D的坐标为:(2,-1).
故答案是:(2,-1).
∴点A的坐标是(1,0),点B的坐标是(3,0).
∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,B,
∴1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根.
由韦达定理,得
1+3=-b,1×3=c,
∴b=-4,c=3,
∴抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3;
(2)如图1,连接AC、BC,BC交对称轴于点P,连接PA.
由(1)知抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3,A(1,0),B(3,0),
∴C(0,3),
∴BC=
32+32 |
2 |
32+12 |
10 |
∵点A、B关于对称轴x=2对称,
∴PA=PB,
∴PA+PC=PB+PC.
此时,PB+PC=BC.
∴点P在对称轴上运动时,(PA+PC)的最小值等于BC.
∴△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=3
2 |
10 |
(3)如图2,根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分,抛物线的对称性”得到点D是抛物线y=x2-4x+3的顶点坐标,即(2,-1),
当E、D点在x轴的上方,即DE∥AB,AE=AB=BD=DE=2,此时不合题意,
故点D的坐标为:(2,-1).
故答案是:(2,-1).
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