四边形ABCD中，E是边AB上一点（不与点A，B重合），连接ED，EC，则将四边形ABCD分成三个三角形．若其中有两个三角形相似，则把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；若这三个三角形都相似，则

Question

四边形ABCD中，E是边AB上一点（不与点A，B重合），连接ED，EC，则将四边形ABCD分成三个三角形．若其中有两个三角形相似，则把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；若这三个三角形都相似，则把E叫做四边形ABCD的边AB上的黄金相似点．
（1）如图①，∠A=∠B=∠DEC=60°，试判断点E是否为四边形ABCD的边AB上的相似点？并说明理由；
（2）如图②，在（1）的条件下，若E是AB的中点，
①判断点E是否为四边形ABCD的边AB上的黄金相似点？并说明理由；
②若AD•BC=18，求AB的长；

（3）在矩形ABCD中，AB=10，BC=3，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点上，试在图③中画出矩形ABCD的边AB上的一个黄金相似点E．

Answer 1

（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．
证明：如图①，

∵∠A=∠B=∠DEC=60°，∠DEB=∠A+∠ADE，
∴∠BEC+60°=60°+∠ADE．
∴∠BEC=∠ADE．
∴△AED∽△BCE．
∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．

（2）如图②，

①点E是四边形ABCD的边AB上的黄金相似点．
证明：由（1）得△AED∽△BCE．
则有(AD)/(BE)=(AE)/(BC)=(ED)/(CE)．
∵E是AB的中点，
∴AE=BE=(1)/(2)AB．
∴(AD)/(AE)=(ED)/(CE)．
∵∠A=∠DEC，
∴△AED∽△ECD．
∴△AED∽△BCE∽△ECD．
∴点E是四边形ABCD的边AB上的黄金相似点．
②∵(AD)/(BE)=(AE)/(BC)（已证），
∴AD•BC=AE•BE．
∵AD•BC=18，AE=BE=(1)/(2)AB．
∴18=（(1)/(2)AB）²．
∴AB=6√(2)．
∴AB的长为6√(2)．

（3）①在AB上取一点E，使得AE=1，点E就是矩形ABCD的边AB上的一个黄金相似点，如图③，

理由如下：
连接DE、CE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC．
∵AB=10，BC=3，AE=1，
∴EB=9，AD=3．
∴(EB)/(BC)=3=(AD)/(AE)．
∴△EBC∽△DAE．
∴(EC)/(DE)=(BC)/(AE)，∠BEC=∠ADE．
∵AD=BC，
∴(EC)/(DE)=(AD)/(AE)．
∵∠A=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°．
∴∠BEC+∠AED=90°．
∴∠DEC=90°．
∴∠A=∠DEC．
∴△DAE∽△CED．
∴△EBC∽△DAE∽△CED．
∴点E是矩形ABCD的边AB上的一个黄金相似点．
②在AB上取一点E，使得BE=1，点E就是矩形ABCD的边AB上的一个黄金相似点，如图③′，

理由如下：
连接DE、CE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=