图1、2是两个相似比为1：2的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．（1）图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC

Question

图1、2是两个相似比为1：√(2)的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．
（1）图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E、F，如图4，①求证：DE=DF．②求证：AE²+BF²=EF²；
（2）在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜和CD延长线分别与交于点，如图5，证明结论：AE²+BF²=EF²仍成立．

Answer 1

（1）①证明：如右图4，连接CD，
∵图1、2是两个相似比为1：√(2)的等腰直角三角形，
∴放置后小直角三角形的斜边正好是大直角三角形的直角边，
∴D为AB中点，CD⊥AB，
∵∠ACB=90°，
∴CD=AD=BD，
∴∠4=∠A=45°，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△CDF和△ADE中

∠1＝∠3

AD＝CD

∠4＝∠A

，
∴△CDF≌△ADE，
∴DE=DF．

②证明：∵由①知△CDF≌△ADE，
∴CF=AE，
与①证明△CDF≌△ADE类似可证△CED≌△BFD，
得出CE=BF，
∵在△CEF中，CE²+CF²=EF²，
∴AE²+BF²=EF²．

（2）证明：把△CFB绕点C顺时针旋转90°得到△CGA，如右图5，连接GE，
∵根据旋转得出：CF=CG，AG=BF，∠4=∠1，∠B=∠GAC=45°，
∴∠GAE=90°，
∵∠3=45°，
∴∠2+∠4=90°-45°=45°，
∴∠1+∠2=45°，
∵在△CGE和△CFE中

CE＝CE

∠GCE＝∠FCE

CG＝CF

，
∴△CGE≌△CFE，
∴GE=EF，
∵在Rt△AGE中，AE²+AG²=GE²，
∴AE²+BF²=EF²．