三角形ABC中,AB=AC=5,tanC=3/4,点D是BC边上一个动点,DE//AC交AB与E,DF垂直AC于F,BD=X,S三角形DEF=Y求Y与X的函数关系式是否存在D,使D,E,F为顶点的三角形与三角形DFC相似是否存在D，使D,E,F为顶点的三角形与

Question

三角形ABC中,AB=AC=5,tanC=3/4,点D是BC边上一个动点,DE//AC交AB与E,DF垂直AC于F,BD=X,S三角形DEF=Y
求Y与X的函数关系式
是否存在D,使D,E,F为顶点的三角形与三角形DFC相似
是否存在D，使D,E,F为顶点的三角形与三角形DFC相似 求BD

Answer 1

tanC=3/4,则设△ABC的高h=3a,BC长的一半b=4a;根据勾股定理有
h^2 + b^2 = AC^2
→(3a)^2 + (4a)^2 =5^2;
a=1.
→h=3a=3; BC=2b=8a=8;
则S△ABC=hb=12;
由基本的几何知识容易推导出:
EB=ED=(x/8)·5=5x/8;
S△BDE=(BD/BC)^2 ·S△ABC = 3x^2 /16;
则梯形AEDC的面积S为:S=S△ABC-S△BDE=12-3x^2 /16;
由于梯形面积等于与之等高的,底为梯形上下底之和的三角形的面积,所以与梯形AEDC等高的,底为 L=ED+AC=5x/8+5 的三角形的面积为 S=3x^2 /16;
则 S△DEF=(ED/L)·S= 3x^3 /16(x+8);
即 Y=3x^3 /16(x+8);
DE//AC则∠EDF=∠CFD=90°;
若△DEF∽△DFC,则∠DEF=∠FDC;于是过D,E,F三点的圆与BC相切.由于△DEF是直角三角形,故△DEF的圆心I是EF的中点;而且,ID⊥BC;