如图所示，AB是竖直平面内的光滑四分之一圆弧轨道，O点是圆心，OA水平，B点是圆轨道的最低点，半径为R=0.2m．质量为M=1kg的物体乙静止在水平地面上，上表面水平，且上表面正好与圆弧轨

Question

如图所示，AB是竖直平面内的光滑四分之一圆弧轨道，O点是圆心，OA水平，B点是圆轨道的最低点，半径为R=0.2m．质量为M=1kg的物体乙静止在水平地面上，上表面水平，且上表面正好与圆弧轨道的B点相切，质量为m=0.5kg的物体甲（可视为质点）从A点由静止释放，已知甲与乙的动摩擦因数为μ₁=0.5，乙与地面的动摩擦因数为μ₂=0.1，重力加速度大小取10m/s²．

（1）求甲在B点时对轨道的压力的大小；
（2）若甲未从乙的右端掉下去，求乙的运动时间．

Answer 1

（1）A到B的过程中机械能守恒，由机械能守恒得：
mgR=(1)/(2)m

v

2 0

所以：v0=√(2gR)=√(2×10×0.2)=2m/s
 在B点甲受到的支持力与重力的合力提供向心力，所以：
FN-mg=(mv20)/(R)
代入数据得：F_N=15N
由牛顿第三定律可知，甲对轨道的压力也是15N．
（2）甲在乙上相当于乙运动的过程中受到的摩擦力：
f₁=μ₁mg=0.5×0.5×10=2.5N
乙与地面之间的摩擦力：
f₂=μ₂（m+M）g=0.1×（0.5+1）×10=1.5N
由于乙与地面之间的摩擦力小于甲与乙之间的摩擦力，所以在甲做减速运动的同时，乙将向右做加速运动，加速度：
a2=(f1-f2)/(M)=(2.5-1.5)/(1)=1m/s2
甲的加速度：a1=(-f1)/(m)=(-2.5)/(0.5)=-5m/s2
二者速度相等需要的时间t₁，则：v₀+a₁t₁=a₂t₁
代入数据得：t1=(1)/(3)s
此时的速度：v=a2t1=1×(1)/(3)=(1)/(3)m/s
此后乙继续减速，若甲也随乙一起减速，则甲受到的摩擦力：
f₃=ma₂=0.5×1=0.5N<f₁
可知假设是正确的，甲与乙一起减速，加速度：
a3=(-f2)/(m+M)=(-1.5)/(0.5+1)=-1m/s2
减速到0的时间：
t2=(0-v)/(a3)=(0-(1)/(3))/(-1)=(1)/(3)s
所以乙运动的总时间：t=t1+t2=(1)/(3)+(1)/(3)=(2)/(3)s
答：（1）甲在B点时对轨道的压力的大小是15N；
（2）若甲未从乙的右端掉下去，乙的运动时间是

作业帮用户 2017-03-27

问题解析

（1）A到B的过程中机械能守恒，由机械能守恒求出B点的速度，结合牛顿第二定律即可求出甲受到的支持力；
（2）甲做减速运动，乙先做加速运动，当二者的速度相等后再一起做减速运动，结合受力分析与牛顿第二定律求出加速度，再由运动学的公式即可求出．

名师点评

本题考点：

牛顿运动定律的综合应用 向心力 机械能守恒定律

考点点评：

该题是机械能守恒、圆周运动、匀加速直线运动相结合的典型题型，要注意分析长木板的运动情况，该题难度适中．

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