（本题12分）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD。（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当＝150°时，试判断△AOD

Question

（本题12分）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点， ∠AOB= 110°，
∠BOC= ，△BOC ≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD。
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当 ＝150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由；
（3）探究：当 为多少度时，△AOD是等腰三角形。
 

Answer 1

（1）证明：∵△BOC≌△ADC ，
∴OC="DC" 。——1分
∵∠OCD=  ，
∴△OCD是等边三角形。——1分
（2）△AOD是Rt△ 。 ——1分
理由如下：
∵△OCD是等边三角形 ，
    ∴∠ODC=  ，
∵△BOC≌△ADC ，∠α=  ，
∴∠ADC=∠BOC=∠α=  ，
∴∠ADO=∠ADC－∠ODC= － =  ，
∴△AOD是 Rt△ 。——2分
（3）
∵△OCD是等边三角形 ，
∴∠COD=∠ODC= 。
  ∵∠AOB=  ，∠ADC =∠BOC=α ，
∴∠AOD= －∠AOB－∠BOC－∠COD= － －α－ = －α ，
∠ADO=∠ADC－∠ODC=α－  ，
∴∠OAD= －∠AOD－∠ADO= －（ －α）－（α－ ）=  。
①当∠AOD=∠ADO时，
－α=α－  ，    ∴α=  。——2分
②当∠AOD=∠OAD时，
－α=  ，       ∴α=  。——2分
③当∠ADO=∠OAD时 ，
α－ =  ，        ∴α=  。——2分
综上所述：当α= 或 或 时，△AOD是等腰三角形。——1分

略