已知O是线段AB外一点，若，．(1)设点P、Q是线段AB的三等分点，试用向量、表示；(2)如果在线段AB上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．说明：第(2)题将根据结论的一般

Question

已知O是线段AB外一点，若，．
(1)设点P、Q是线段AB的三等分点，试用向量、表示；
(2)如果在线段AB上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．说明：第(2)题将根据结论的一般性程度给予不同的评分．____

Answer 1

【分析】(1)由三角形法则及向量共线的数乘表示，分别用向量、表示出，相加即得用向量、表示的表达式；
\n(2)可先对二等分点，四等分点进行探究，归纳得出猜想，再数学归纳法证明结论．

(1)如图：点P、Q是线段AB的三等分点=，

\n则，同理，(2分)
\n所以(4分)
\n(2)层次1：设A₁是AB的二等分点，则；
\n设A₁、A₂、A₃是AB的四等分点，则等等(结论(2分)，证明2分)
\n层次2：设A₁，A₂，，A_n-1是AB的n等分点，则等；(结论(2分)，证明4分)
\n层次3：设A₁，A₂，…，A_n-1是AB的n等分点，
\n则；(结论(3分)，证明7分)
\n证：A₁，A₂，…，A_n-1(n≥2)是线段AB的n等分点，先证明这样一个基本结论：(1≤k≤n-1，n、k∈N^*)．
\n由，，
\n因为和是相反向量，
\n则，
\n所以．
\n记，

\n相加得
\n所以

【点评】本题考查平面向量的综合题，解题的关键是熟练掌握向量的运算法则与向量的共线条件，归纳推理的思想，数学归纳法证明方程的方法，本题中先猜想，再用数学归纳法进行证明，难度较大，解题时要注意运算变形时认真、严谨，避免因运算失误导致解题失败．