（1）问题发现：如图1，在△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的形外作等腰直角三角形，直角的顶点分别为D、E，点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点．填空：①四边形AFMG的形状是；

Question

（1）问题发现：
如图1，在△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的形外作等腰直角三角形，直角的顶点分别为D、E，点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点．
填空：①四边形AFMG的形状是___；
         ②△DFM和△MGE之间的关系是___．
（2）拓展探究：
如图2，在△ABC中，分别以AB、AC为底边，向△ABC的形外作等腰三角形，顶角的顶点分别为D、E，且∠BAD+∠CAE=90°，点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点，试判断△DFM和⊥MGE之间的关系，并加以说明．
（3）问题解决：
在（2）的条件下，若AD=5，AB=6，△DFM的面积为32，直接写出△MGE的面积．

Answer 1

（1）①∵BF=AF，BM=MC，
∴FM∥AC，同理MG∥AB，
∴四边形AFMG是平行四边形，
故答案为：平行四边形；
②∵∠BDA=90°，DF是AB边上的中线，
∴DF=AF．
∵四边形AFMG是平行四边形，
∴MG=AF，∠AFM=∠AGM．
∴DF=MG，∠BFM=∠MGC．
∵∠AEC=90°，EG是AC边上的中线，
∴GE=AG．
∵四边形AFMG是平行四边形，
∴AG=FM．
∴GE=FM．
∵DA=DB，F为AB的中点，
∴∠DFB=90°．
同理：∠EGC=90°．
∴∠DFB+∠BFM=∠EGC+∠MGC，即∠DFM=∠EGM．
在△DFM和△MGE中，

DF=MG

∠DFM=∠EGM

FM=EG

，
∴△DFM≌△MGE（SAS）；
故答案为：△DFM≌△MGE．

（2）△DFM∽△MGE，理由如下：
∵△ADB和△ACE都是等腰三角形，且F、G为AB、AC的中点，
∴∠DFB=∠EGC=90°．
∵点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点，
∴FM∥AC，MG∥AB，FM=(1)/(2)AC=AG    MG=(1)/(2)AB=AF．
∴∠BFM=∠BAC=∠MGC．
∴∠BFM+90°=∠MGC+90°，
即∠DFM=∠MGE．
∵∠BAD+∠CAE=90°，∠CAE+∠AEG=90°，
∴∠BAD=∠AEG．
∴tan∠BAD=tan∠AEG．
∴(DF)/(AF)=(AG)/(GE)，即(DF)/(MG)=(FM)/(GE)，
又∵∠DFM=∠MGE，
∴△DFM∽△MGE．

（3）∵AD=5，AB=6，
∴AF=3，MG=3，MG=AF=3．
∴在Rt△ADF中，DF=√(AD2-AF2)=√(52-32)=4．
∵由①知△DFM∽△MGE，且△DFM的面积为32，
∴(S△MGE)/(S△DFM)=（(MG)/(DF)）²=（(3)/(4)）²=(9)/(16)．
∴S_△MGE=32×(9)/(16)=18．