发现问题如图①，在△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的形外作等腰直角三角形，直角的顶点分别为D、E，点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点，求证：△DFM≌△MGE．拓展探究如图

Question

【发现问题】如图①，在△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的形外作等腰直角三角形，直角的顶点分别为D、E，点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点，求证：△DFM≌△MGE．
【拓展探究】如图②，在△ABC中，分别以AB、AC为底边，向△ABC的形外作等腰三角形，顶角的顶点分别为D、E，且∠BAD+∠CAE=90°．点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点，若AD=5，AB=6，△DFM的面积为a，直接写出△MGE的面积．

Answer 1

【发现问题】证明：∵△ADB是等腰直角三角形，F为斜边AB的中点，
∴∠DFB=90°，DF=FA；
∵△ACE是等腰直角三角形，G为斜边AC的中点，
∴∠EGC=90°，AG=GE，
∵点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点，
∴FM∥AC，MG∥AB，
∴四边形AFMG是平行四边形，
∴FM=AG，MG=FA，∠BFM=∠BAC，∠BAC=∠MGC，
∴DF=MG，∠DFM=∠MGE，FM=GE，
在△DFM与△MGE中，

DF=MG

∠DFM=∠MGE

FM=GE

，
∴△DFM≌△MGE．                  

【拓展探究】∵点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点，
∴FM∥AC，MG∥AB，FM=(1)/(2)AC=AG，MG=(1)/(2)AB=AF，∠MGC=∠BAC=∠BFM，
∴∠DFM=∠MGE，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴tan∠1=tan∠3，
即 (DF)/(AF)=(AG)/(EG)，
∴(DF)/(MG)=(FM)/(EG)，
∵∠DFM=∠MGE，
∴△DFM∽△MGE，
∴(S△MGE)/(S△DMF)=（ (DF)/(MG)）²，
在Rt△ADF中，DF=√(AD2-AF2)=√(52-32)=4，
∴(S△MGE)/(S△DMF)=（ (MG)/(DF)）²=(9)/(16)，
∵△DFM的面积为a，
∴S_△MGE=(9)/(16)a．