已知：点A、C分别是∠B的两条边上的点，点D、E分别是直线BA、BC上的点，直线AE、CD相交于点P．（1）点D、E分别在线段BA、BC上；①若∠B=60°（如图1），且AD=BE，BD=CE，则∠APD的度数为；

Question

已知：点A、C分别是∠B的两条边上的点，点D、E分别是直线BA、BC上的点，直线AE、CD相交于点P．
（1）点D、E分别在线段BA、BC上；
①若∠B=60°（如图1），且AD=BE，BD=CE，则∠APD的度数为______；
②若∠B=90°（如图2），且AD=BC，BD=CE，求∠APD的度数；
（2）如图3，点D、E分别在线段AB、BC的延长线上，若∠B=90°，AD=BC，∠APD=45°，求证：BD=CE．

Answer 1

（1）①连结AC，
∵AD=BE，BD=CE，
∴AD+BD=BE+CE，
∴AB=BC．
∵∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形．
∴∠B=∠ACB=60°，BC=AC．
在△CBD和△ACE中

BC＝AC

∠B＝∠ACB

BD＝CE

，
∴△CBD≌△ACE（SAS），
∴∠BCD=∠CAE．
∵∠APD=∠CAE+∠ACD，
∴∠APD=∠BCD+∠ACD=60°．
故答案为60°；
②作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，
∴∠FAD=90°．
∵∠B=90°，
∴∠FAD=∠B．
在△FAD和△DBC中，

AF＝BD

∠FAD＝∠B

AD＝BC

，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴DF=DC，∠ADF=∠BCD．
∵∠BDC+∠BCD=90°，
∴∠ADF+∠BDC=90°，
∴∠FDC=90°，
∴∠FCD=45°．
∵∠FAD=90°，∠B=90，
∴∠FAD+∠B=180°，
∴AF∥BC．
∵DB=CE，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠EAC=∠FCA．
∵∠APD=∠ACP+∠EAC，
∴∠APD=∠ACP+∠ACE=45°；
（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，
∴∠FAD=90°．
∵∠ABC=90°，
∴∠FAD=∠DBC=90°．
在△FAD和△DBC中，

AF＝BD

∠FAD＝∠DBC

AD＝BC

，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴DF=DC，∠ADF=∠BCD．
∵∠BDC+∠BCD=90°，
∴∠ADF+∠BDC=90°，
∴∠FDC=90°，
∴∠FCD=45°．
∵∠APD=45°，
∴∠FCD=∠APD，
∴CF∥AE．
∵∠FAD=90°，∠ABC=90，
∴∠FAD=∠ABC，
∴AF∥BC．
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE，
∴CE=BD．