对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an（n∈N*）；一般地，规定{△kan}为数列{an}的k阶差分数列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an（k∈N*，k≥2）．已知数列{an}的通项公式an

Question

对数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）；一般地，规定{△^ka_n} 为数列{a_n}的k阶差分数列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n（k∈N^*，k≥2）．已知数列{a_n}的通项公式a_n=n²+n（n∈N^*），则以下结论正确的序号为______．
①△a_n=2n+2；       
②数列{△³a_n}既是等差数列，又是等比数列；
③数列{△a_n}的前n项之和为a_n=n²+n；   
④{△²a_n}的前2014项之和为4028．

Answer 1

①∵△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），{△^ka_n}为数列{a_n}的k阶差分数列，an=n2+n．
∴△a_n=a_n+1-a_n =（n+1）²+（n+1）-（n²+n）=2n+2，故①正确．
②∵△²a_n=2（n+1）+2-（2n+2）=2，
∴{△²a_n}是首项为2，公差为0的等差数列，
∴对数列{△³a_n}，△³a_n=2-2=0，故数列{△³a_n}是等差数列，但不是等比数列，故②不正确．
③数列{△a_n}的前n项之和为△a₁+△a₂+…+△a_n=a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n+1-a_n=a_n+1-a₁=（n+1）²+（n+1）-（1+1）=n²+3n，故③不正确．
④△²a_n=2（n+1）+2-（2n+2）=2，
∴{△²a_n}是首项为2，公差为0的等差数列，{△²a_n}的前2014项之和为 2×2014=4028，故④正确．
故答案为：①④．