对于数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an＝an+1−an(n∈N*)，对自然数k，规定{△kan}为数列{an}的k阶差分数列，其中△kan＝△k−1an+1−△k−1an．（1）若△an=2，a1=1，则a2013=

Question

对于数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△an＝an+1−an(n∈N*)，对自然数k，规定{△^ka_n}为数列{a_n}的k阶差分数列，其中△kan＝△k−1an+1−△k−1an．
（1）若△a_n=2，a₁=1，则a₂₀₁₃=______；
（2）若a₁=1，且△2an−△an+1+an＝−2n(n∈N*)，则数列{a_n}的通项公式为

an＝n×2n−1

an＝n×2n−1

．

Answer 1

（1）∵△a_n=2，∴d=2，
∵a₁=1，∴a₂₀₁₃=1+2（2013-1）=4015；
（2）∵△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，即△a_n+1-△a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，
即△a_n-a_n=2ⁿ，∴a_n+1=2a_n+2ⁿ，∵a₁=1，
∴a₂=4=2×2¹，a₃=12=3×2²，a₄=32=4×2³，猜想：a_n=n•2^n-1，
证明：ⅰ）当n=1时，a₁=1=1×2⁰；ⅱ）假设n=k时，a_k=k•2^k-1；
n=k+1时，a_k+1=2a_k+2^k=k•2^k+2^k=（k+1）•2^（k+1）-1结论也成立，
∴由ⅰ）、ⅱ）可知，a_n=n•2^n-1．
故答案为：（1）4015；（2）an＝n×2n−1．