求证：一个六边形有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆．那么这个六边形是正六边形，写出已知，求证，并证明．

Question

求证：一个六边形有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆．那么这个六边形是正六边形，写出已知，求证，并证明．

Answer 1

已知：六边形ABCDEF有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆 O．
求证：六边形ABCDEF是正六边形．
证明：如图，连接OM、OE；
则OM⊥EF、ON⊥AF；
∵OM=ON，
∴AF=EF（同圆中，相等的弦心距所对的弦相等），
同理可证：AB=BC=CD=DE=EF；
∴该六边形六条边相等；
在△AOF与△EOF中，

AO=OF

OF=OE

AF=EF

，
∴△AOF≌△EOF（SSS），
∴∠AOF=∠EOF，
同理可证：∠DOE=∠DOC=∠COB=∠AOB=∠AOF，
∴六边形ABCDEF是正六边形．