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证明下列不等式(1)已知a>0,b>0,判断a3+b3与a2b+ab2的大小,并证明你的结论.(2)已知x∈R,a=x2+12,b=2-x,c=x2-x+1,证明a,b,c至少有一个不小于1.
题目详情
证明下列不等式
(1)已知a>0,b>0,判断a3+b3与a2b+ab2的大小,并证明你的结论.
(2)已知x∈R,a=x2+
,b=2-x,c=x2-x+1,证明a,b,c至少有一个不小于1.
(1)已知a>0,b>0,判断a3+b3与a2b+ab2的大小,并证明你的结论.
(2)已知x∈R,a=x2+
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▼优质解答
答案和解析
证明:(1)要证a2+b2>a2b+ab2成立,
只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立
又因为a>0,
只需证a2-ab+b2>ab成立,
而依题设a≠b,则(a-b)2>0显然成立,
由此命题得证.
(2)证明:假设a,b,c均小于1,即a<1,b<1,c<1,则有a+b+c<3
而a+b+c=2x2-2x+
+3=2(x-
)2+3≥3,
两者矛盾;
故a,b,c至少有一个不小于1
只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立
又因为a>0,
只需证a2-ab+b2>ab成立,
而依题设a≠b,则(a-b)2>0显然成立,
由此命题得证.
(2)证明:假设a,b,c均小于1,即a<1,b<1,c<1,则有a+b+c<3
而a+b+c=2x2-2x+
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两者矛盾;
故a,b,c至少有一个不小于1
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