证明下列不等式（1）已知a>0，b>0，判断a3+b3与a2b+ab2的大小，并证明你的结论．（2）已知x∈R，a=x2+12，b=2-x，c=x2-x+1，证明a，b，c至少有一个不小于1．

Question

证明下列不等式
（1）已知a>0，b>0，判断a³+b³与a²b+ab²的大小，并证明你的结论．
（2）已知x∈R，a=x²+(1)/(2)，b=2-x，c=x²-x+1，证明a，b，c至少有一个不小于1．

Answer 1

证明：（1）要证a²+b²>a²b+ab²成立，
只需证（a+b）（a²-ab+b²）>ab（a+b）成立
又因为a>0，
只需证a²-ab+b²>ab成立，
而依题设a≠b，则（a-b）²>0显然成立，
由此命题得证．
（2）证明：假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a+b+c<3
而a+b+c=2x²-2x+(1)/(2)+3=2（x-(1)/(2)）²+3≥3，
两者矛盾；
故a，b，c至少有一个不小于1