在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的内接四边形ABCD的对角线AC垂直于BD,它的一边BC切小圆于E,求证2OE=AD

Question

在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的内接四边形ABCD的对角线AC垂直于BD,它的一边BC切小圆于E,求证2OE=AD

Answer 1

做出图来,设AC、BD交点F,取AD中点G,连结OG、GF、FE由于2GF=AD,那么仅需证明OE=GF就可以了∠ACB=∠ADB,又因为E也为BC中点,所以∠EFC=∠ACB=∠ADB=∠GFD设为α,故而∠GFE=∠GFA+∠AFB+∠EFB=（90°-α）+90°+（90°-α）=270°-2α.再看因为OE垂直于BC,∠OEF=90°-∠FEC=90°-（180°-2α）=2α-90°.同理OG垂直于AD,∠OGF=2α-90°因为∠GFE+∠OEF=180°,因为同旁内角互补,得GF平行于OE同理GO平行于FE所以四边形OEFG为平行四边形OE=FG=1/2*AD命题得证