在平面三角形中，若ABC的三边长为a，b，c，其内切圆半径为r，有结论：ABC的面积S=12（a+b+c）r，类比该结论，则在空间四面体ABCD中，若四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，其内切球半径为R，

Question

在平面三角形中，若ABC的三边长为a，b，c，其内切圆半径为r，有结论：ABC的面积S=(1)/(2)（a+b+c）r，类比该结论，则在空间四面体ABCD中，若四个面的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，其内切球半径为R，则有相应结论：___．

Answer 1

先证明平面内的结论正确．
设△ABC的内切圆圆心为I，圆I与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
连接ID、IE、IF，
∵ID与圆I相切于点D，
∴ID⊥BC，可得三角形IBC的面积为S_△IBC=(1)/(2)BC•ID=(1)/(2)ar（其中r是△ABC的内切圆半径），
同理可得：S_△IAC=(1)/(2)AC•IE=(1)/(2)br，S_△IAB=(1)/(2)AB•IF=(1)/(2)cr，
∴三角形ABC的面积为S=S_△IBC+S_△IAC+S_△IAB=(1)/(2)ar+(1)/(2)br+(1)/(2)cr=(1)/(2)（a+b+c）r，
根据此结论，将其类比到空间可得：
若四面体四个面的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，内切球的半径为R，则此四面体的体积为V=(1)/(3)（S₁+S₂+S₃+S₄）R．
证明如下：

设四面体ABCD的内切球为球O，球O分别切面BCD、面ACD、面ABD、面ABC于E、F、G、H，
分别设S_△BCD、S_△ACD、S_△ABD、S_△ABC为S₁、S₂、S₃、S₄
∵球O切平面BCD于点E，
∴OE⊥平面BCD，三棱锥O-BCD的体积为V₁=(1)/(3)S_△BCD•OE=(1)/(3)S₁R，
同理可得：三棱锥O-BCD的体积为V₂=(1)/(3)S_△ACD•OF=(1)/(3)S₂R，三棱锥O-ABD的体积为V₃=(1)/(3)S_△ABD•OG=(1)/(3)S₃R，
三棱锥O-ABC的体积为V₄=(1)/(3)S_△ABC•OH=(1)/(3)S₄R，
∴四面体ABCD的体积等于V=V₁+V₂+V₃+V₄=(1)/(3)S₁R+(1)/(3)S₂R+(1)/(3)S₃R+(1)/(3)S₄R=(1)/(3)（S₁+S₂+S₃+S₄）R．
故答案为：V=(1)/(3)（S₁+S₂+S₃+S₄）R．