已知△ABC的外接圆半径R=根号3,且满足2R(sin平方A-sin平方C)=（a-b）sinB,求△ABC周长的最大值

Question

已知△ABC的外接圆半径R=根号3,且满足2R(sin平方A-sin平方C)=（a-b）sinB,求△ABC周长的最大值

Answer 1

△ABC的外接圆半径为R,三角形三条边与外接圆半径关系a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
由于2R(sin平方A-sin平方C)=（a-b）sinB=（2RsinA-2RsinB）sinB可推出
sin平方A+sinB平方-sin平方C=sinAsinB,可得（sin平方A+sinB平方-sin平方C）/2sinAsinB=1/2,观察左边关系式符合余弦定理,刚好是cosC.所以cosC=1/2,C=60°
△ABC的周长=a+b+c=2R（sinA+sinB+sinC),sinC是定值=根号3/2（60°正弦值）.
要求周长最大值只需求sinA+sinB的最大值就可以了.
由于三角形内角180°,C=60°,A+B=120°
sinA+sinB=sinA+sin（120°-A)=3/2sinA+根号3/2cosA,这个式的最大值是根号3
所以△ABC的周长最大值=2R（根号3+根号3/2）=9（R=根号3）